這個研究點子，來自於天花板上空調孔的圖形，經由仔細觀察，發現它是個類似18×18 的正方形圖形，且內由數種幾何圖形交錯而成，其中以三角形切割為最小單位，且佔最多數，因此對數學賦予濃厚興趣的我們，就想找出其中所有三角形的個數，我們經由一連串的數學思考策略，研究出數三角形最有效率的方法--「共斜邊法」，並進而推論出其中三角形個數一般化的求法。求解的過程中，雖然歷經種種波折，但都被我們以鍥而不捨的研究精神突破，最終，皆能找出漂亮的一般式。

數學處處讓人有驚奇，意外的發現常常令人很驚喜，看似簡單的題目，經過細細的品味再一次的深入研究，從中可以發現意想不到的結果。

課堂上，張老師用電腦軟題和我們玩青蛙搬移的遊戲，只見老師左一下、右一下的，一下子就把兩邊的青蛙給換了位置，想說應該沒有什麼困難的，可是換我們自己做的時候，卻發現完全不是這麼一回事！也因為如此，更激起了我們要破解它的興趣。為了破解這個遊戲並且找出它的規律，我們先以老師所提供的遊戲進行分析，再延伸到其他的青蛙數，試著歸納出遊戲的規律性，除了這些，我們更試著將每次的移動做成記錄，找出遊戲的關鍵步驟與規律，讓我們對數學更增加了一分認識。

由「 千人百節蜈蚣座 」的數學題目 來探討因與倍問，是這樣的： 每年農曆 四月十二日為金門 浯島城隍遷治慶典 ，其中最令人印象深刻的莫過於力蜈蚣陣這項踩街化妝嘉年華活動，蜈蚣座共有100節，分別編號由1至100，由100位小朋友來 負責每節蜈蚣座上傘的開合工作，操作的方式是這樣， 如果遇到該節的傘 沒有打開的，則小朋友就把傘打開，如果遇到 該節的傘已經打開的，則幫忙把傘合起來，不過有個規則1號小朋友只能 操作該節編號是 1的倍數的 傘，2號小朋友只能操作該節編號是 2的倍數的傘，依此順序請問100位小朋友操作過一輪後，蜈蚣座有哪幾 節的傘是打開的

在數學課教學剩餘的時間中，老師說要變一個魔術。老師在黑板上畫了一個正方形的16 格方陣圖，上面依序自左向右填上1、2、3……至16 個數字，告訴我們可任選一個數，然後將其數字行、列劃掉；再從沒劃掉的數中任選一個數，同樣將其行、列劃掉；重複相同動作直到選出第四個數，就此四個數字相加求和，其和必為34。下課後，同學們非常好奇，一直追問為何會如此，於是同學相互要先回去多試幾次，想想方塊中『數字之間有什麼關係』，並和他們約定一個時間一起討論研究，解開數字魔術方塊的秘密。

以學生自行思考為主，讓學生發表看法，再由老師主持討論過程，讓所有參與研究討論的學生在理性的討論環境中思考每個人所提出的看法，再由眾多觀念中尋找優點以及缺失所在，透過不斷的發表－觀念澄清，引導學生尋找出「一筆劃」完成一個圖形的方式。

在國二下學期第一章等差數列與等差級數的單元裡，曾提到有規律的圖形中，暗藏著數學的奧祕，並探討出一座木橋護欄上，木頭間交錯的交點個數與其外圍的木框數目的關聯。這使我們對圖形上的數學產生很大的興趣，因而開始了我們以下的研究。

直角坐標是國中階段必學的主題之一，它可以應用在方程式以及函數的作圖上，但是對於日常生活上，好像不是有那麼大的功用，應該不會有人隨身都帶著經、緯度的定位儀器，而且也不會有人以經、緯度來告訴別人自己的所在位置吧！隨著時代的進步，GPS 導航系統幾乎已是開車族的必要配備，但是光靠GPS 的導引而迷航者卻時有所聞。當我們想知道自己身在何處時，該怎麼辦呢？尤其是在發生事故，等待援助時，那些平常亳不起眼，我們不曾在意的電線桿或電箱，可是指引生路的救命符呢！

平面的幾何圖形，簡單又複雜，可以組成各式各樣的美麗圖形，這些圖形如果深入觀察，可以有更多的特性和趣味會被發掘出來，「一筆畫」就是其中之一，有些圖形可以一筆畫畫出來，有些則不可以，到底有什麼特性，讓我們一同來探究和觀察。

「搶21」數字遊戲表面看起來很神奇，其實只要找出其中的變化規律，先搶得你所要的關鍵數字，留下最後不要的數字，「失敗」兩字自然能輕鬆的送給對方囉。