三年級的時候，我們在學習「四邊形與三角形的面積與周長」單元中，曾經用符合任何二支的長度，加起來大於第三支的三支吸管，來圍成一個三角形。發覺三角形形狀雖然改變，但是它的面積卻不會改變。到了四年級下學期，我們又再學習四邊形的面積。發覺四邊形四個邊長固定，但是它的面積會隨形狀改變而改變，我們覺得很奇怪。到了五年級時，雖然我們再深入的學習四邊形，對於邊長一樣，形狀不一樣，面積就不一樣的疑惑還沒解開，於是便去請教老師，在老師的指導下，與同學一同去研究、操作與探討相關四邊形的問題。

觀察及探討統一發票的對獎規則，計算發票各獎項的出現次數，將中獎次數與中獎獎金作運算，利用統計學中平均的概念，以推估統一發票在兌獎前的價值幾許。

雷格蒙塔努斯(Regiomontanus)的角度最大化問題之延伸思考描述

今年寒假老師出了一道題，希望我們 今年寒假老師出了一道題，希望我們 今年寒假老師出了一道題，希望我們 動腦想一， 動腦想一， 動腦想一， 她一開始跟我們說了個故事， 一開始跟我們說了個故事， 一開始跟我們說了個故事， 故事 是這樣的︰ 在中古世紀， 有一位老國王為了要 尋找能接替他的人，想招募集 智仁勇 於 一身的騎 士， 於是 出了一道難題 來考驗他們 。城堡裡 有一張 正方形的 大餐桌，國王 命僕人 在 餐桌旁 放置十張椅 子，要 各個戰士想 一如何擺 ，才能使每邊的椅子數相等 ？解開難題的人， 就可以成為國王 ，迎娶公主，享盡榮華富貴。 開學後，我突然想到是否可將此題擴展為：︰在任意張數的椅子在正方形周邊平均擺放的情形？若更進一步推廣呢？任意張數椅子在各種正多邊形周邊平均擺放的情形是否呈現某種規律性？在此種規律性的背後是否可以用一簡單式子來解決？ 因此我邀請了跟我一樣有共同想法和興趣的同學來共同研究此一問題。

教室佈置比賽開囉了！全班熱烈討論並決定摺星星來佈置「星空」，但在摺角星的操作中，有許多驚人的發現，生活中摺星藝術居然隱藏著奧妙的科學應用。剛開始同學們都是摺簡單多邊形的外角及轉角來組合成角星。在嘗試變換不同角星時，發現在長條紙上能利用對角相等，摺角平分線的方法，能找出摺出規律，而且都是奇角星。然後又發現長條紙上的短線、長線、中線摺放的不同，又可以變換出不同造型的奇角星。摺奇角星的過成中，發現第一個角度越大，則角星的角數越少；第一個角度越小，則角星的角數越多。在尋找上下摺的規律性時，發現解聯立方程式中，可以解釋上下摺的規律性。更驚奇的發現，上下摺的規律性與數學的二進位有關係，真令人嘖嘖稱奇啊！這讓我們感到摺紙星星是如此神奇奧妙又充滿智慧，也讓我們覺得透過摺紙星星歷程中，可以訓練自己勇於面對挑戰，培養百折不橈的毅力來解決生活中困難問題，數學的邏輯推理，不僅啟發我們的智慧，運用一點科學巧思創造生活藝術，更令我們嘖嘖稱奇。同學們！趕快一起來體驗「摺摺稱『奇』智多星」吧！它的趣味性與奧祕會帶給你意想不到的收穫喔！

利用歸納法、窮舉法，將指定顆數的圈圈劃完，劃下最後一顆者輸。並利用觀察旋轉、對稱圖形等方式，化簡所需研究之棋盤圖形

以學生自行思考為主，讓學生發表看法，再由老師主持討論過程，讓所有參與研究討論的學生在理性的討論環境中思考每個人所提出的看法，再由眾多觀念中尋找優點以及缺失所在，透過不斷的發表－觀念澄清，引導學生尋找出「一筆劃」完成一個圖形的方式。

這個研究點子，來自於天花板上空調孔的圖形，經由仔細觀察，發現它是個類似18×18 的正方形圖形，且內由數種幾何圖形交錯而成，其中以三角形切割為最小單位，且佔最多數，因此對數學賦予濃厚興趣的我們，就想找出其中所有三角形的個數，我們經由一連串的數學思考策略，研究出數三角形最有效率的方法--「共斜邊法」，並進而推論出其中三角形個數一般化的求法。求解的過程中，雖然歷經種種波折，但都被我們以鍥而不捨的研究精神突破，最終，皆能找出漂亮的一般式。

數學處處讓人有驚奇，意外的發現常常令人很驚喜，看似簡單的題目，經過細細的品味再一次的深入研究，從中可以發現意想不到的結果。

課堂上，張老師用電腦軟題和我們玩青蛙搬移的遊戲，只見老師左一下、右一下的，一下子就把兩邊的青蛙給換了位置，想說應該沒有什麼困難的，可是換我們自己做的時候，卻發現完全不是這麼一回事！也因為如此，更激起了我們要破解它的興趣。為了破解這個遊戲並且找出它的規律，我們先以老師所提供的遊戲進行分析，再延伸到其他的青蛙數，試著歸納出遊戲的規律性，除了這些，我們更試著將每次的移動做成記錄，找出遊戲的關鍵步驟與規律，讓我們對數學更增加了一分認識。