數學教育改革小史目的

張靜嚳博士
彰化師大科研所

引言

  今日台灣的中學教育似乎迷失在沒完沒了的考試競爭中。除了應付考試外,試問有多少教師知道他們教學的目的何在?有多少學生知道他們的學習是為了什麼?這種失去目標的教育是當前教育重大的危機之一。

  每當迷失之際,回到原點再出發,永遠不失為一個不錯的策略。教育是為了未來,探討歷史也是為了未來,希望從歷史經驗中找出我們前進的方向。以下是數學教育史簡要的回顧。

  數學教育的目的其演變,自西元前三世紀到二十一世紀末止,自然形成五個階段:

  為數學而數學
  
為商業而數學
  
為陶冶而數學
  
為實用而數學
  
為功力或素養而數學

一﹑為數學而數學

  早在西元前三世紀,古希臘大學者柏拉圖樣(Plato,-427347)在他的書院門口,寫著『不懂數學者,請勿入。』古希臘人認為數學是絕對的真理,學數學是為了追求真理。結果,柏拉圖學派這種『為數學而數學』的哲學思想造就了許多著名的數學家,例如:Eudoxus,Euclid,Menaechmus。時至今日,仍有很多人相信數學是絕對的,永恆不變的真理。數學教育的目的在教學生熟練這些真理。Euclid的經典名著<<幾何原本>>更是長久以來被公認的數學真理大全。它支配數學教育有二千多年之久,一直到廿世紀初,掀起打倒歐家店的浪潮之後,才告落幕。

  歐幾里德集前人成就之大成;阿基米德是希臘數學的巔峰,例如:他能求拋線弓形的面積。希臘亡於羅馬之後,羅馬人重實務,對於數學不屑一顧。他們只把數學家當占星術家,數學只是用來計算未來命運的工具。西元前四十七年凱撒大帝縱火焚燬停泊在亞歷山大的埃及艦隊,殃及該城圖書館,數學典籍全數燒燬。西元之後,基督教興起,但基督教領袖鄙視數學和天文,不許教徒沾染希臘學術。接著於西元 640年回教徒征服埃及。阿拉伯征服者Omar下令焚燬希臘文獻,理由是:『這些書的內容,可蘭經有的不必讀,沒有的更不該讀。』中世紀的歐洲是漫長的黑夜,教會重精神,不重實務,人活著是為了上天國。教會辦學教數學只是為了瞭解天體運動中所顯示的吉凶禍福而已,但對數學的要求很低。教會學校的課程有三藝四科。三藝是修辭﹑辨證﹑文法 ;四科是算術﹑音樂﹑幾何﹑天文。其中算術主要講四則運算,幾何是<<原本>>中第一卷和三﹑四卷個別命題的摘錄,數學內容很少。西元1000年左右,工商業發達,開始出現非教會學校,但由教會派人教員。最早興辦大學的有義大利的Bologna大學(1088) ,法國的巴黎大學(1160) ,英國的牛津大學(1167)。當時的大學與現代的意義不同。一般十三﹑四歲入學,分學生﹑碩士﹑博士三階段,相當於社會上的學徒﹑工匠﹑師傅三層次。數學內容很少。一直到十五世紀中葉,幾何限於<<原本>>前兩卷,考試只限於第一卷。第一卷末的畢氏定理,被認為是『碩士算學之履』。一般學生只會一卷前四個命題。第五個命題有『笨驢之橋』之稱,因為只有聰明的學生過得了。第五個命題是等腰三角形的底角全等。算術水準更低,一般大學生只會加法﹑減法和乘法,不會除法。在十六世紀會多位數除法的人,就可以當大學教授了。中世紀的數學教育一直到十六世紀文藝復興之前是停滯不前,毫無進展。

二﹑為商業而數學

  十六世紀文藝復興商業發達,社會急需商業用的數學。此時,英國的數學教育家雷科德(Robert Reccrde 1510-1558),主張:『為商業而數學』。他走出教堂,擺脫宗教的影響,寫了一系列沾有世俗功利味道的數學教科書。他首創以算術﹑幾何和代數為主的數學課程基本結構,至今仍然保存。今日廣泛使用的等號= 也是他創造的,因為他認為再也沒有任何兩樣東西,會比一對等長的平行線段更相等了。十七世紀受資本主義影響,數學教育更趨普及,內容日漸增多和加深。

三﹑為陶冶而數學

  十八世紀產業革命,促進數學的發展,數學教育出現新面貌。瑞士,裴斯泰洛齊(Pestalozzi 1746-1827),主張「為人文而教育」,提倡智﹑德﹑體三育並重。在智育上,提倡「數﹑形﹑語」三要素。然而,一直到十九世紀末,數學教育基本上還是很「幾何原本」的。不同的是,大家更體認到傳統數學教育效果的有限性。簡言之,傳統的數學教育對數學天才(例如,Gal0is)太無聊,對大多數人,卻又太抽像。法國大數學家Poincare(1854-1912)曾如此描述當時數學教育的失敗:

  在教室裡,老師對學生說:『圓周是一點到同一平面上等距離點的軌跡。』學生們抄在筆記本上,可是誰也不明白圓周是什麼。於是,老師拿粉筆在黑板上畫了一個圓,學生們立刻歡呼起來『啊!圓周就是圓啊,知道了。』

  Poincare指出這種數學教育在當時隨處可見。就Poincare的觀點而論,百年後的今天,數學教育又改進了多少?

四、為實用而數學

  數學教育到十九世紀末,在某種程度,還是緊抱著歐氏的幾何原本不放。然而,若繼續照雷科德的設計來教數學,也不行。此時,一些先進國家,工業快速起飛,科技成就碩果纍纍,目不暇給。然而,當時的教育卻停滯不前。因此二十世紀初一開始就在世界各地不約而同出現提倡數學教育改革的浪潮,例如:在英國有 Perry,德國有大數學家Klein,美國有Moore。改革的呼聲是『為大眾而數學』,講求實用。

  1901年英國Perry指出,數學教育應該面對大眾,注重實用,絕對不允許『為培養一個中學數學教師,而扼殺千萬個兒童的精神;為造就一個數學家而毀滅數以百萬計的人們。』實際生活需要數學,數學要為實際所用。要誘導學生學習『有用的』數學。培利指出數學有七大用途:

‧培養高尚的情操,以喚起求知的喜悅。
‧以數學為工具學習物理。
‧為了考試合格。
‧給人們以運用自如的智力工具。
‧可認識到獨立思考的重要性,從權威的束縛下解放自己。
‧從事應用科學的人,理解到原理是應用科學的基礎。
‧給具有敏銳的哲學精神的人,提供一種有魅力的邏輯力量,以便防 止從純抽像的立場去研究問題。

  培利特別嘲笑那些只關心第三項的教師說:『這些數學教師儘管什麼用處也沒有,但是他們卻像受人頂禮膜拜的守護神。』今日的台灣的情形何嘗不是如此。

  傳統認為數學教師只要懂『數學』和『教育』就行了。但早在1904年數學大師Klein(1849-1925)就指出,大學數學教師只要懂一般教育學是不行的,還必須注意數學教育的方法。這是數學教育進入學術領域的濫觴。1905年,Klein起草改革樹學教學,世稱米蘭大綱,其要點如下:

    ‧教材選擇、排列、適應學生心理的自然發展。
    ‧融合數學的各分科,密切與其它各學科的關係。
    ‧不過分強調形式的訓練,應當強調實用方面,以便充分發展學生對自
     然界和人類社會諸現象能夠進行數學觀察能力。

    ‧為達到此等目的、應將養成函數思想和空間觀察能力作為數學教學的基
     
礎。

  此一綱領雖然後來並未被各國實際採用,但是指導思想,至今仍在影響大多數數學課程的改革。他並實際著書宣揚他的改革理念,1908年寫成名著<<從高觀點看初等數學(第一卷)>>。1909年出版第二卷。這些成就使他成為數學界的權威,和數學教育界的一代宗師。1908年,第四屆國際數學家大會,正式通過提案,成立國際數學教育委會(ICMI)。Klein是第一任主席,並任這項職務到1925年去世為止。ICMI剛成立時只有19國參加。ICMI早期的工作是各成員國的數學教育調查。從1908到1914的六年中,在Klein領導下彙集了大量寶貴的數學教育歷史文獻。1915年第一次世界大戰中斷ICMI的活動,其後斷斷續續,但影響不大。ICMI再度活躍是60年代Freudenthal的事。

  數學教育改革,常常來自不同的向度或觀點。有些來自數學家,有些來自教育家。美國教育家杜威(Dewy,1859-1952),雖然論及數學教育不多,但是他的教育改革主張對數學教育有深遠的影響。杜威提出『實用主義』,或『工具主義』,或『經驗主義』,『有用便是真理』,他主張從絕對走向經驗主義。杜威批評傳統教材呆板枯燥乏味,遠離兒童經驗,缺乏感人的知識內容,沒有吸引力。因此,數學要寓於生活之中,杜威的教育口號是『教育即生活』,『學校即生活』,『做中學』,『兒童為中心』。

  杜威的高足Kilpatrick將其學說發揚光大,提出『設計教學法』影響較大。教學設計有四步:決定目的,擬定計劃,實行,評定。這種教學法在20-30年代風行全球。影響所及,蘇俄的那察兒斯基(1875-1933)極力提倡杜威的實用主義,並採取一系列的行動,例如,取消課程表,打倒教科書,以『周圍生活』為圓心安排課程,推行設計教學法。日本也推行『生活中心主義』,非常重視『兒童經驗』,數學教育按『生活單元』組織,如,『買菜』學習四則運算,『烹飪』單元學習比例,『畫廣告』學習幾何,中國的陶行知(1891-1946)在1923年起南京,脫去西裝穿草鞋,提倡『平民教育』,主張『生活教育』。另一位杜威的中國學生陳鶴琴(1892-1982)在江西致力於兒童教育,推行『活教育』和提倡以活動為中心的教學。50年代初,『生活單元』教學導致『學力低下』的報告不斷出現,導致朝野一致批評『實用主義』教學。加上1958年後,新課程運動興起,杜威學說卻突然消卻。杜威學說再受矚目已是半世紀後,90年代的事了。

  傳統教育偏重知識,結果導致教材分門別類,分得太細,導致學生不知學科之間的關係,更不知所學與生活之間的關係。有鑑於此,乃有學者主張,教育即生活,教育非為生活而準備,教育乃生活之本身。因此混合數學由此產生。1902年,美國Moore提出混合數學。他主張:

‧在中學應將各科(算術、代數、幾何、物理)融合在一起,搞統一數 學。
在專門學校要把三角、代數、解析幾何、微積分融合成一個學科。
教學形式可採取實驗的方式。
改良運動不應只是變革,而應是發展。

  混合數學也在中國和日本產生影響。然而,數學課程的安排常常是合久必分,分久必合,分分合合,在兩端搖擺。

  60年代,新數學。其特色是強調『新』或『頂尖』,新的內容,新的方式,新的形式,新的結構:

增加現代數學內容。例如:集合、邏輯、群環體、矩陣、向量、微 積分、概率、統計。
強調公理化。
用數理邏輯和集合論來取代歐氏幾何訓練數學思考。
強調結構,用集合、運算、關係和映射把數學課程統一成一體。
削減傳統運算,如繁雜的三角恆等式,像符號遊戲戰一樣的分式化 簡,被認為缺乏應有的實用價值而被刪去。
追求新的處理方法,強調趣味性與直覺性,提倡發現法。

  新數學在造就頂尖科學家上頗有成就,但在一般的教育則相當失敗。Kline(1973)著書大力批評新數學的不是,書中有一則笑話來說明新數學的失敗;

    老師問:『瑪莉,2加3等於什麼?』
    
瑪莉問:『2加3等於5。』
    
老師問:『不對!班尼,你說吧!』
    
班尼問:『2加3等於3加2。』
    
老師問:『對了!為什麼是這樣呢?』
    
眾生齊答:『因為整數的加法服從交換律!』

  1963年蘇俄Kormoropob(1903-1987)領導蘇俄數學教學改革運動。其特點是:

取消算術課,代以統一數學,要從一年級起就開始接觸現代數學基 礎知識。
增加數學理論知識內容,如微積分,向量等。
使用其有數學語言和數學思維方法的教材,如引入集合語研,使用 變換的方法講幾何等。

  70年代,回到根本。摒棄為升學的設計的『主義』,走向未來資訊社會需要的『結構主義』。十九世紀拉丁文是進大學的主科。二十世紀以後數學取代之。中學教學課程設計是為了銜接大學,而忽略廣大不進大學的中學生需要。這種要90%的學生去培10 %的未來大學生讀為升學而設計的課程,荒唐之至。

  80年代,解題。80年代有三大趨勢:大眾數學、解題、服務性學科。其中以教學生解題最令人矚目。1980年,(ICME)提出80年代中學數學教學行動計劃,認為解題應為80年代中學教學的中心。然而,教學生解題是叫好不叫座的議題。許多教學生解題的研究報告顯示,學習效果很有限。但是不知從何時開始,卻意外的發現,讓學生經由小組合作解題來學習數學效果特別好,尤其是這種教學可以柿用於各種不同程度和性質班級。

  二十世紀數學教育的領袖人物之一是Polya ,他一生提倡解題教學。在1962年的一次演講中他論述學習、教學和學習如何教學。他表示中學數學課的『首要目的是教會年青人思考』、『數學課程的主要目標之一是發展學生的解題能力』。他強調教學生去處『猜想』比教學生去『證明』重要。他注意到:只有1 %的學生會需要研究數學,29%的學生將來會使用數學,70%的學生在離開之後,不會再用小學以上的數學知識。所以,數學教育的意義不會在教會學生使用數學知識,而是要培養學生的思維習慣,一種數學文化素養。

  Polya在1944年寫成<<如何解題>>(1948年傅佐嚴譯成中文,中華書局出版,影響不大)在序言中,Polya表示任何問題的解決中,多少會有所發現。學生經由解題可以經驗到發現的興奮和喜悅,對年青人,這種經驗會引起他對心智工作的興趣,在人格和態度上留下終身的印象。因此,教師對學生的未來掌握有很大的影響機會。如果教師用例行運算訓練學生把上課時間消磨掉,他會扼殺學生的興趣,妨礙學生智力的發展。教師在誤用他的機會。然而,如果教師用適合學生程度的問題,引起學生好奇心,並且用一些誘人的問題來幫助學生解題,那麼教師就會引發學生獨立思考的興趣,和教會學生一些解題的方法。他認為教學最佳三原則是:主動學習、最佳動機、循序漸進。他認為學東西最好的途徑是親自發現它,學生應該對所學的知識倍感興趣並在學習中尋求歡樂。學習順序正如康德說的:『學習是從行動和感知開始,進而發展到語詞和概念,以養成合理的思維習慣而告結束。』

  然而,Polya過分強調數學的形式陶冶,忽視數學的日常應用,罕見數學的眼光去觀察周圍的事物,處理現實的問題。要引起大多數學生的興趣,只靠『問題』的思辨興去是不足的,必須借助現實的需要。總之,他忽略數學教育中有關社會和文化的因素的影響,可能是他的解題數學叫好不叫座的主因。

五、為功力或為素養而數學

  受數學社會建構主義(張靜嚳,1995a,1995b)的影響,對數學教育在課程和教學上與傳統有很不一樣的看法。90年代,美國NCTM的<<數學課程標準>>(1989)主張數學教育的目的在發展學生的數學功力(power),NCTM所謂數學功力是包含了數學能力和氣質(NCTM 1991,p.1):探索、猜想、邏輯推理;解非常規的問題;用教學溝通;數學概念之間以及術學其他智力活動概念之間的關連。更包含個人在找尋、評鑑和使用量與空間之資訊於解決問題和做決定時的自信與氣質的發展。

  新的數學教育哲學相信『就某種程度而言,人人都是天生的數學家……學校數學應讓所有學生有實現此一基本真實的機會。』(NCTM標準)。『實質上,所有的年青學生都喜歡數學。他們很自然的在做數學,發現型或規律型和基於觀察做推想。自然的好奇心是有力的教師,特別是對數學而言。……不幸地,當學童被學校和社會化之後,他們把看數學成一門要求精確、快速、記憶,且充滿公式的外在固定知識。他們對數學的觀點逐漸從熱情轉為恐懼,從自信轉向害怕。最後,大多數的學生被迫放棄數學,而確信只有天才才能學數學。後來,成為家長。他們也把這種信念傳給孩子。甚至,有些人當了教師也把這種態度傳給學生。』(NRC, 1989,p43-45)

  這種錯誤的態度正在加速惡化數學的學習。基於成功的自信是數學課程最重要的目標。個人在日後的生活裡,能否應付數學的能力是有賴於他們在學校時所接受的數學態度而定。

  總而言之,二十世紀的數學教育,上半世紀是Klien的天下;下半世紀是Freudenthal的天下。Freudenthal的基本思想是:

(一)數學教學必須『源於現實、寓於現實、用於現實』。每個人都有自己的『數學現實』。教師的任務在於瞭解學生的數學現實,並由此出發組織教學。

(二)應該認為,與其說讓學生學數學,不如說讓學生學習『數學化』。學習『形式化』。學生『數學化』的過程,就是將學生的數學現實進一步提高、組織、抽像的過程。它分五個層次:直觀、分析、抽像、演繹、嚴謹。

(二)應該認為,與其說讓學生學數學,不如說讓學生學習『數學化』。學習『形式化』。學生『數學化』的過程,就是將學生的數學現實進一步提高、組織、抽像的過程。它分五個層次:直觀、分析、抽像、演繹、嚴謹。

  數學教育的重要原則是『再創造』。數學是人們常識化的系統。數學是經由自己的『思想實驗』創造數學知識。學數學如學游泳一樣,不實踐就不會獲得真知的。

結語

  台灣教學問題嚴重(張靜嚳,1996)。教育目的更與世界潮流背道而馳。台灣的數學教育著重『考試訓練』,忽視學生的瞭解、需要和興趣。當前的許多教育改革,只是應付問題,為未能有效的解決問題。例如:常態編班、自學方案、五等第計分、禁止使用參考書、測驗卷,禁止惡補、體罰等等。這些措施無一能有效幫助學生的學習在教室發生,學生上課沒有學到東西自然問題叢生,上述這些無效的教育改革只是在延後或惡化教育問題而已。因此。為現在,也為將來,學校應儘早朝向發展學生的數學功力,或培養學生的數學文化素養的目標來努力。

參考文獻

張奠宙、曾慕蓮、戴再平(1990):近代數學教育史話。北京:人民教育出版社
張靜嚳(1995a):<問題中心教學在國中發展之經過、效果及可行性之探討>,
        <<科學教育月刊>>,三卷二期,頁139-165。

張靜嚳(1995b):<何謂建構主義?>,<<建構與教學:中不地區科學教育簡訊>>,
        第三期,一、四版,國立彰化師範大學科學教育研究所。

張靜嚳(1995b):<傳統教學有何不妥?>,<<建構與教學:中不地區科學教育簡訊>>,
        第四期,一、四版,國立彰化師範大學科學教育研究所。

NCTM(1989).Curriculum and Evaluation Standards for School  
      Mathematics.Reston,VA:National Council of Teachers of Mathematics.
NCTM(1991).Professional Standards for Teaching athematics.Reston,VA:National
      Council of Teachers of Mathematics.

NRC(1989).Everybody counts:A Report to the Nation on the Future of Mathematics
     Eeucation. Washington,D.C:National Academy press.

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